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第16章 省赛第二场（第1页）

节更新）【题目：设p是一个素数，f（x）=a_nxn++a_1x+a_0是一个整系数多项式。

证明：若f（x）≡0（odp）在模p意义下有k个不同的解，则多项式f（x）的次数n必然大于或等于k，或者f（x）的所有系数a_i都是p的倍数。

】李帆的瞳孔微微一缩。

【数论……还是和多项式结合的抽象代数题……】这是他知识体系里，最薄弱的一环。

他死死地盯着题目，大脑的每一个褶皱都在疯狂检索。

这个结论，他有印象，模糊地记得在「金钥匙」辅导班的某本讲义的角落里见过。

它像一个定理，一个被他忽略了的丶不起眼的定理。

【是什麽……到底是什麽……】他尝试从最基础的定义出发，构造反证法，利用有限域z_p的性质……草稿纸上很快写满了各种符号和推演。

思路在某个点上，似乎通了。

【对了！

在有限域z_p里，如果一个n次多项式f（x）有k个根，且n＜k，那麽……】然后呢？然后是什麽？李帆的笔尖悬在了半空，大脑一片空白。

额头的汗珠变得黏腻，顺着太阳穴滑落，痒痒的，让他心烦意乱。

他越是焦急，那层水幕就越是浑浊。

「铃——」考试结束的铃声，如同一声审判的钟鸣，无情地宣告了他这场挣扎的终结。

他最终还是没能想起那个关键的步骤——f（x）必须是g（x）的倍式，而在次数n＜k的前提下，这只有一种可能：f（x）在模p意义下是零多项式，即所有系数都是p的倍数。

一步之遥，咫尺天涯。

他放下了笔，脸上没什麽表情，但心里却是一片冰凉。

……与此同时，考场的另一端。

徐辰在看到这道题时，也愣了一下。

他同样不知道这个定理。

陈老师的资料里，依然没有涉及到这部分内容。

所以他也没有像李帆那样，去记忆里搜索现成的定理。

他的思路，还是从更原始的路线进行推导。

【不懂理论，就回归定义。

】【有k个解，意味着什麽？】【意味着，可以列k个方程。

】一个大胆的念头在他脑海中闪过。

【我为什麽要把它当成数论题来解？】【这……这特喵的不就是一道线性代数题吗？！

】他瞬间感觉豁然开朗！

他的笔尖，在草稿纸上飞速移动，一行行工整的方程组，瞬间成型：f（x_1）=a_nx_1n++a_0≡0（odp）f（x_2）=a_nx_2n++a_0≡0（odp）f（x_k）=a_nx_kn++a_0≡0（odp）【这是一个关于系数a_0，a_1，